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\begin{document}

\renewcommand{\proofname}{\textsc{\underline{Démo}}}

\newtheoremstyle{basique}{0pt}{0pt}{\rm}{}{\bf}{:}{ }{}
\theoremstyle{basique}
\newtheorem{defn}{Définition}
\renewcommand{\thedefn}{\empty{}}
\newtheorem{theo}{Théorème}
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\newtheorem{prop}{Proposition}
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    \addtolength{\texte}{-\numerotation}\addtolength{\texte}{-2\tabcolsep}
\title{Correction du devoir commun du 22/01/2010}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1)L'ensemble de définition de f est l'intervalle [-2;5].
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2)L'image de 1 est 3, celle de 5 est -5,5.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
3)Rechercher les solutions de f($x$)=-1 revient à rechercher le nombre d'antécédents de -1 par f. On en compte trois, l'un compris entre -2 et -1, le deuxième entre -0,5 et 0 et le dernier est 2.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
4)Le seul dont on puisse obtenir la valeur exacte est 2.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
5)On recherche ici les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieur à -3. On obtient par lecture graphique l'ensemble [-2;4[.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
6)
\begin{center}
\begin{variations}
x & -2 & & & -0,5 & & & & 1 & & & 5 \\
\filet
\m{f\left(x\right)} & \h-\h5\h/\h7 & \d & & -2 &  &  & \c & \h3 & \d & & -5,5 \\
\end{variations}
\end{center}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
7)Toute valeur strictement inférieure à -5,5 ou strictement supérieur à 3 convient.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
8)a)
\end{flushleft}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|r|}
  \hline
  x &  f(x)\\
  \hline
  2 & -1  \\
  2,5 & -1,125  \\
  3 & -1,5  \\
  3,5 & -2,125  \\
  4 & -3  \\
  4,5 & -4,125  \\
  5 & --5,5  \\
  \hline
\end{tabular}

\end{center}
\begin{flushleft}
b)L'antécédent de -2 compris entre 2 et 5 est -3,41 en arrondissant au centième.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1)a)$\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{3}$ sont compris dans l'intervalle [-3;0,5] sur lequel la fonction f est décroissante. Comme $\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{3}$ on a alors $f\left(\dfrac{1}{4}\right)\geq f\left(\dfrac{1}{3}\right)$ par décroissance de f.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) On ne peut rien conclure.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
c)$-4\in\left[-5;-3\right]$ , or sur cet intervalle la fonction f prend des valeurs comprises entre -2 et 0 , on en déduit alors que $f\left(-4\right)\leq0$. De même $1,5\in[1;2]$ intervalle sur lequel f prend des valeurs comprises entre 0 et 3, par conséquent $f\left(1,5\right)\geq 0$. On a alors :
\end{flushleft}
\begin{center}
$f\left(-4\right)\leq0\leq f\left(1,5\right)$.
\end{center}
\begin{flushleft}
Et donc:
\end{flushleft}
\begin{center}
$f\left(-4\right)\leq f\left(1,5\right)$.
\end{center}
\begin{flushleft}
2)a) Le minimum de f sur [-5;2] est -2 atteint en -5.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) Le maximum de f sur [-5;1] est 0 atteint en -3 et 1.
\end{flushleft}
\newpage
\begin{flushleft}
3)
\begin{center}
\begin{variations}
x        & -5 &     &  -3 &     & 1 &     & 2\\
\filet\filet
signe\  de \ f\left(x\right)      &     & -~~ & \z & ~~- & \z & ~~+   \\
\end{variations}
\end{center}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1)$f\left(x\right)=\left(3x+2\right)^{2}-9=9x^{2}+12x+4-9=9x^{2}+12x-5$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2)On développe l'expression (3$x$-1)(3$x$+5):
\end{flushleft}
\begin{center}
$\left(3x-1\right)\left(3x+5\right)=9x^{2}+15x-3x-5=9x^{2}+12x-5$.
\end{center}
\begin{flushleft} 
 on obtient $9x^{2}+12x-5$ qui est égale à f($x$) d'après la question précédente. On a ainsi montré que f($x$)=(3$x$-1)(3$x$+5). On peut également partir de l'expression 1 et factoriser:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\left(3x+2\right)^{2}-9=\left(3x+2\right)^{2}-3^{2}=\left(3x+2-3\right)\left(3x+2+3\right)=\left(3x-1\right)\left(3x+5\right)$.
\end{center}
\begin{flushleft}
3)a) en utilisant l'expression 2 on obtient que:
\end{flushleft}
\begin{center}
$f\left(\sqrt{3}\right)=9\left(\sqrt{3}\right)^{2}+12\sqrt{3}-5=22+12\sqrt{3}.$
\end{center}
\begin{flushleft}
b)La forme la plus adaptée pour résoudre cette équation est la forme factorisée(expression 3) car elle permet d'utiliser directement la règle du produit nul:
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

f($x$)=0 s'écrit alors (3$x$-1)($3x$+5)=0.

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
On a alors:
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$\ast$ Soit 3$x$-1=0 ce qui nous donne $x=\dfrac{1}{3}$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$\ast$ Soit 3$x+$5=0 ce qui nous donne $x=-\dfrac{5}{3}$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
L'ensemble S des solutions est donc: $S=\left\{-\dfrac{5}{3};\dfrac{1}{3}\right\}$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
c) La forme la plus adaptée ici est l'expression 1 car elle nous donne:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\left(3x+2\right)^{2}-9=-9$
\end{center}
\begin{flushleft}
On simplifie et on obtient alors:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\left(3x+2\right)^{2}=0$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ce qui est équivalent à $3x+2=0$ qui a pour solution $x=-\dfrac{2}{3}$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 4:}}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1) Voir la figure ci-dessous.
\end{flushleft}
\begin{flushleft} 
\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics{a.ggb.eps}
	\label{fig:a.ggb}
\end{figure}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) On cherche à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. On commence par calculer le carré de la longueur de chaque coté du triangle ABC:
\end{flushleft}
\begin{center}
$AB^{2}=\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}=\left(2+2\right)^{2}+\left(-1-5\right)^{2}=16+36=52$
\end{center}
\begin{center}
On obtient de même: $BC^{2}=13$ et $AC^{2}=65$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ainsi $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$, le triangle est donc rectangle en B d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\end{flushleft}
\newpage
\begin{flushleft}
3) Soit $\left(x_{D};y_{D}\right)$ les coordonnées de D. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ sont $\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B}\right)=\left(3;2\right)$, celles de $\overrightarrow{AD}$ sont $\left(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A}\right)=\left(x_{D}+2;y_{D}-5\right)$. Pour que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ il faut alors que:
\end{flushleft}
\begin{center}
x$_{D}+2=3$ donc $x_{D}=1$ et $y_{D}-5=2$ donc $y_{D}=7.$
\end{center}
\begin{flushleft}
Les coordonnées de D sont donc (1;7). L'égalité vectorielle $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ entraîne que ABCD est un parallélogramme. De plus on sait par la question 2) que ABCD possède un angle droit, ABCD est alors un rectangle.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
4)On applique la formule de calcul des coordonnées du milieu d'un segment:
\end{flushleft}
\begin{center}
$x_{K}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{3}{2}$ et $y_{K}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ainsi K a pour coordonnées (1,5;3).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
5) CBMK est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MK}$. Les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$ sont (3;2), celles de $\overrightarrow{MK}$ sont $\left(1,5-x_{M};3-y_{M}\right)$, pour que ces deux vecteurs soient égaux il faut donc que:
\end{flushleft}
\begin{center}
$1,5-x_{M}=3$ et $3-y_{M}=2$
\end{center}
\begin{flushleft}
On en déduit que M a pour coordonnées (-1,5;1), ce que l'on peut facilement vérifier sur le dessin.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
6) La figure permet de supposer que AKBM est un losange. On peut le montrer de plusieurs façons différentes.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
K étant le milieu de [AC] on sait que $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KC}$ qui est égal à $\overrightarrow{MB}$ car CBMK est un parallélogramme. Ainsi $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{MB}$ donc AMBK est un parallélogramme.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
ABCD étant un rectangle K est également le milieu de [BD] et AC=BD. Ainsi AK=$\dfrac{1}{2}$AC=$\dfrac{1}{2}$BD=BK. Donc AK=BK donc ABMK est un losange.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 5}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1) Le point D n'appartient pas au plan (HIJ).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2)a) On se place dans le triangle HAB, I est le milieu de [HA], J milieu de [HB] donc d'après le théorème de la droite des milieux (ou la réciproque du théorème de Thalès) les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) ABCD est un carré donc (AB) et (CD) sont parallèles. Comme (IJ) est parallèle à (AB) alors (IJ) est parallèle à (DC).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
c) (IJ) est parallèle à (DC) qui est contenue dans les plan (HDG). (IJ) est donc parallèle au plan (HDG).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
3)a) Le point H est un point commun aux plans (HAC) et (HBD), il appartient donc à l'intersection de ces deux plans.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b)[AC] et [BD] sont les deux diagonales du carré ABCD, elles se coupent dont en un point que l'on appelera P. Ce point appartient par définition à la droite (AC) qui est incluse dans (HAC) par conséquent P appartient au plan (HAC). De même P appartient à la droite (BD) qui est incluse dans le plan (HBD), donc P appartient à ce même plan. Ainsi P appartient aux plans (HAC) et (HBD)
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics[width=7cm,height=7cm]{1.eps}
	\label{fig:1}
\end{figure}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
c)L'intersection de ces deux plans est donc la droite (HP)
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Bonus}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1) Soit $x$ le nombre de personnes ayant fini devant Jeanne. On sait alors que le nombre de personnes ayant fini après Jeanne est $3x$. Donc en tout $x+3x+1$(Jeanne)=2009, donc $4x=2008 $ et par conséquent $x=502$. Il y a donc 502 personnes devant Jeanne qui est donc 503ème. La réponse était alors A).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2)Si $3\Delta5=2\Delta x$ alors $3\times5+3+5=2x+2+x$, donc $3x=21$ d'où $x=7$. La réponse correcte était donc E).
\end{flushleft}

\end{document}

