\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

\renewcommand{\proofname}{\textsc{\underline{Démo}}}

\newtheoremstyle{basique}{0pt}{0pt}{\rm}{}{\bf}{:}{ }{}
\theoremstyle{basique}
\newtheorem{defn}{Définition}
\renewcommand{\thedefn}{\empty{}}
\newtheorem{theo}{Théorème}
\renewcommand{\thetheo}{\empty{}}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\renewcommand{\theprop}{\empty{}}
\newtheorem{cor}{Corollaire}
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\newtheorem{lemme}{Lemme}
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\newtheorem{rem}{Remarque}
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\newtheorem{rems}{Remarques}
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\newtheorem{nota}{Notations}
\renewcommand{\thenota}{\empty{}}

\newlength{\tabulation}
\settowidth{\tabulation}{4444}

\newlength{\numerotation}
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\newlength{\texte}
\setlength{\texte}{\textwidth} \addtolength{\texte}{-\tabulation}
    \addtolength{\texte}{-\numerotation}\addtolength{\texte}{-2\tabcolsep}
\begin{twocolumn}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Correction du devoir commun du 19 mai}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 1}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1) Il fallait choisir la réponse b. En effet:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\left(x-1\right)^{2}=3$
\end{center}
\begin{center}
$\left(x-1\right)^{2}-3=0$
\end{center}
\begin{center}
$\left(x-1-\sqrt{3}\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)=0$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ce qui donne deux solutions.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) Il fallait choisir la réponse b. En effet:
\end{flushleft}
\begin{center}
$a\leq -2$
\end{center}
\begin{center}
$a^{2}\geq 4$
\end{center}
\begin{flushleft}
Car la fonction carré est décroissante sur ]$-\infty$;0].
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
3) Il fallait choisir la réponse a. En effet si $a\in\left[-2;5\right]$ alors $a\in\left[-2;0\right]\cup\left[0;5\right]$. Si $-2\leq x\leq 0$ alors $4\geq x^{2}\geq 0$ car la fonction carré est décroissante sur ]$-\infty$;0]. Inversement si $0\leq x\leq 5$ alors $0\leq x^{2}\leq 25$ car la fonction carré est croissante sur [0;+$\infty$[. La réponse est donc $\left[0;4\right]\cup\left[0;25\right]=\left[0;25\right]$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
4) La décroissance de la fonction inverse sur ]$-\infty$;0[ donne la réponse b.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
5) De même la décroissance de la fonction inverse sur ]0;$\infty$[ donne la réponse a.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\begin{flushleft}
\end{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 2}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\begin{figure}[h]
	\centering
		\includegraphics[width=6cm,height=5cm]{DC2.eps}
	\label{fig:DC2}
\end{figure}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) Il faut commencer par déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CA}$. On obtient $\overrightarrow{CD}\left(x_{D}-5;y_{D}-3\right)$ et $\overrightarrow{CA}\left(-3;6\right)$. Comme $\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ on obtient alors les deux équations suivantes:
\end{flushleft}
\begin{center}
$x_{D}-5=-1$ et $y_{D}-3=-2$.
\end{center}
\begin{flushleft}
Les coordonnées de D sont donc (4;1).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
La formule des coordonnées du milieu nous donne:
\end{flushleft}
\begin{center}
$x_{E}=\dfrac{6+5}{2}=\dfrac{11}{2}$ et $y_{E}=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ainsi E a pour coordonnées ($\dfrac{11}{2}$;$\dfrac{1}{2}$)
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
B étant le mileu de [AF] on a:
\end{flushleft}
\begin{center}
$x_{B}=\dfrac{x_{A}+x_{F}}{2}$ et $y_{B}=\dfrac{y_{A}+y_{F}}{2}$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ce qui nous donne $x_{F}=10$ et $y_{F}=-1$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
3) a) On obtient $\overrightarrow{DE}\left(1,5;-0,5\right)$ et $\overrightarrow{DF}\left(6;-2\right)$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) On a $\overrightarrow{DF}=4\overrightarrow{DE}$, ces deux vecteurs sont donc colinéaires, les points D,E et F sont donc alignés.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 3}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\begin{figure}[h]
	\centering
		\includegraphics[width=6cm,height=6cm]{DC2_1.eps}
	\label{fig:DC2_1}
\end{figure}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) Les droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont sécantes car elles ont un coefficient directeur différent. Soit M le point d'intersection de ces deux droites On a alors:
\end{flushleft}
\begin{center}
$y_{M}=-2x_{M}-3$ et $y_{M}=\dfrac{1}{2}x_{M}+2$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ainsi:
\end{flushleft}
\begin{center}
$-2x_{M}-3=\dfrac{1}{2}x_{M}+2$
\end{center}
\begin{flushleft}
Ce qui donne $x_{M}=-2$ et donc $y_{M}=-2x_{M}-3=4-3=1$. Les coordonnées de M sont donc (-2;1).
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) a) On a $-2x_{B}-3=-2\times1-3=-5=y_{B}$. B est donc sur la droite $\Delta$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) $D_{1}$ étant parallèle à $\Delta'$, ces deux droites ont même coefficient directeur. L'équation de $D_{1}$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+b$. Comme B est sur cette droite on a:
\end{flushleft}

\begin{center}
$y_{B}=\dfrac{1}{2}x_{B}+b$
\end{center}
\begin{center}
$b=\dfrac{-11}{2}$
\end{center}
\begin{flushleft}
L'équation de $D_{1}$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{11}{2}$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
3) a) Les points E et F n'ayant pas le même abscisse l'équation de la droite $D_{2}$ est donc de la forme $y=ax+b$ avec $a=\dfrac{0-4}{6-4}=-2$. On a donc $y_{F}= -2x_{F}+b$ ce qui donne $b=12$. L'équation de cette droite est donc $y=-2x+12$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) Les droites $\Delta$ et $D_{2}$ ont même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 4}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1) L'étendue est: 1,9-1=0,9.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) Le prix moyen est:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\frac{1\times1+1,1\times2+1,3\times14+1,4\times2+1,5\times6+1,8\times1+1,9\times1}{27}\approx1,37$.
\end{center}
\begin{flushleft}
3) Il faut d'abord déterminer les effectifs cumulés croissants:
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  \textbf{Prix d'un café} & 1 & 1,1 & 1,3 & 1,4 & 1,5 & 1,8 & 1,9 \\
  \hline
  \textbf{Effectifs} & 1& 2 & 14  &   2& 6 & 4 & 1    \\
  \hline
  \textbf{E.C.C.} & 1& 3& 17 &19  & 25  & 26 & 27   \\
  \hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
La série est de taille impaire ($27=2\times 13 +1$) la médiane est donc la donnée de rang $13+1=14$. La lecture du tableau nous donne alors une médiane de 1,3.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$\dfrac{27}{4}=6,75$ donc le premier quartile est la donnée de rang 7 qui est également 1,3.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$3\times\dfrac{27}{4}=20,25$ donc le troisième quartile est la donnée de rang 21 qui est 1,5.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
4) a) Au moins $50\%$ des prix pratiqués sont supérieurs à la médiane 1,3.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) Au moins $75\%$ des prix pratiqués sont inférieurs ou égaux au troisième quartile 1,5.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\underline{\textbf{Exercice 5}}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1) $\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)^{2}+4=\dfrac{1}{2}\left(x^{2}-4x+4\right)+4=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+2+4=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+6=f\left(x\right).$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2)
\end{flushleft}
\begin{center}

 $f\left(x\right)=4$
\end{center}
\begin{center}
$\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)^{2}+4=4$
\end{center}
\begin{center}
$\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)^{2}=0$
\end{center}
\begin{center}
$x=2$
\end{center}
\begin{flushleft}
L'antécédent de 4 par $f$ est 2.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
3)a) 
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\begin{variations}
x        & \mI &     &  1 &  &  3  &   &\pI\\
\filet\filet
x-1     &     & -~~ & \z & ~~+~~ & \l & ~~+ &   \\
\filet
x-3    &     & -~~ &  \l & ~~-~~ & \z & ~~+ &   \\
\filet
(x-3)(1-5x)     &     & +~~ &  \z & ~~-~~ & \z & ~~+ &   \\
\end{variations}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) $f\left(x\right)\geq 4,5$ équivaut à:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)^{2}+4 \geq 4,5$
\end{center}
\begin{center}
$\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)^{2}\geq 0,5$
\end{center}
\begin{center}
$\left(x-2\right)^{2}\geq 1$
\end{center}
\begin{flushleft}
   c) $f\left(x\right)\geq 4,5$ équivaut à $\left(x-2\right)^{2}\geq 1$, ce qui donne:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\left(x-2\right)^{2}-1\geq 0$
\end{center}
\begin{center}
$\left(x-1\right)\left(x-3\right)\geq 0$
\end{center}
\begin{flushleft}
On se reporte au tableau de signes de la question 3 pour obtenir l'ensemble de solutions suivant:
\end{flushleft}
\begin{center}
$\mathscr{S}=$]$-\infty$;1]$\cup$[3;$\infty$[.
\end{center}
\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
1)a) $\mathscr{A}_{AFD}=2x$.
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
$\mathscr{A}_{BEF}=\dfrac{x\left(3-x\right)}{2}=\dfrac{-x^{2}+3x}{2}$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$\mathscr{A}_{ECD}=\dfrac{3\left(4-x\right)}{2}=\dfrac{12-3x}{2}$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) $S\left(x\right)=\mathscr{A}_{BEF}+\mathscr{A}_{ECD}+\mathscr{A}_{AFD}=2x+\dfrac{-x^{2}+3x}{2}+\dfrac{12-3x}{2}=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+6$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
c) L'aire du triangle EFD est égale à l'aire du rectangle ABCD diminuée de la somme des aires des triangles AFD,BEF et ECD. Ainsi:
\end{flushleft}
\begin{center}
$A\left(x\right)=12-S\left(x\right)=12+\dfrac{1}{2}x^{2}-2x-6=\dfrac{1}{2}x^{2}-2x+6$
\end{center}
\begin{flushleft}
On retrouve l'expression de la fonction $f$ définie dans la partie A. F appartient au segment [AB], par conséquent $x\in\left[0;3\right]$, donc $A\left(x\right)=f\left(x\right)$ sur cet intervalle.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
2) a) $A\left(x\right)=4$ équivaut à $f\left(x\right)=4$. On a vu précédemment que cette équation avait pour solution 2. E doit être placé au milieu du segment [BC] pour obtenir une aire égale à 4.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
b) On est ramené ici à résoudre dans [0;3] l'inéquation $f\left(x\right)\geq 4,5$. On a vu que les solutions dans $\mathbb{R}$ de cette inéquation appartenaient à l'ensemble ]$-\infty$;1]$\cup$[3;$\infty$[. Ainsi les solutions comprises dans l'intervalle [0;3] appartiennent donc à [0;1]$\cup\left\{3\right\}$.
\end{flushleft}
\begin{flushleft}

\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\textbf{Bonus}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
L'algorithme est composé d'une boucle "Tant que" dans laquelle est insérée une boucle "Si", le programme continuera tant que les nombres calculés seront différents de 1.  Si on entre 6 comme valeur d'entrée le programme effectue donc le test de parité sur 6, 6 étant pair le programme remplace sa valeur par $\dfrac{6}{2}=3$. 3 étant différent de 1 le programme continue et réeffectue un test de parité sur 3 et cette fois-ci remplace 3 par $3\times3+1=10$. On continue ainsi de suite pour obtenir la suite suivante:
\end{flushleft}
\begin{center}
3;10;5;16;8;4;2;1
\end{center}
\begin{flushleft}
Le programme s'arrête alors car le dernier nombre calculé est 1.
\end{flushleft}
\end{twocolumn}

\end{document} 