Le cours de géométrie élémentaire à l'usage des aspirants au baccalauréat

Ce manuel scolaire, conforme aux programmes du 31 mai 1902, a été écrit par E.Combette, ancien professeur de mathématiques au lycée Saint-Louis et Inspecteur Général.

Si la présentation est austère, on ne peut qu'être étonné par la rigueur du contenu.

En partant de trois axiomes :

• "la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre",
• "il existe une surface telle que la droite qui passe par deux quelconques de ses points s'y trouve entièrement contenue",
• "par un point situé hors d'une droite il ne passe qu'une seule parallèle à cette droite",

l'auteur démontre, sans rien admettre, un grand nombre de théorèmes de la géométrie du plan et de l'espace, en allant jusqu'aux coniques.

L'utilisation des cas d'égalité des triangles est fréquente. Si le théorème de Pythagore est cité, il ne porte pas son nom, par contre on trouve le théorème de Thalès, celui de Ptolémée (" Dans un quadrilatère inscriptible, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés et réciproquement "), la relation de Stewart (" les distances d'un point A à trois points B, C et D situés en ligne droite, D étant placé entre B et C, satisfont : AB² x DC + AC² x BD - AD² x BC = BD x DC x BC "), l'hexagone de Brianchon (" dans tout hexagone circonscrit à une circonférence et dont les sommets sont numérotés 1, 2, 3, 4, 5, 6, en parcourant le polygone dans le même sens, les diagonales 14, 25, 36 sont concou-rantes "), la méthode due à Gergonne pour tracer un cercle tangent à trois cercles donnés, le théorème de Schwab (" le nombre 1/pi est la limite vers laquelle tendent les nombres de la suite qui commence par 0 et 1/2 et dans laquelle un terme est alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux nombres qui le précèdent ")...

On peut remarquer que cette construction parfaitement logique n'utilise pas du tout les notations couramment utilisées actuellement : on écrit " angle AOB ", " droite DF " ; on ne parle pas de segment mais de " portion de droite " à laquelle on assimile sa longueur ; le mot " média-trice " n'existe pas, on parle de " perpendiculaire élevée au milieu d'une droite ". On ne trouve pas non plus d'angle plat puisque " la somme des angles d'un triangle vaut deux angles droits ". Quant au cercle, il est " l'étendue de la portion du plan limitée par la circonférence ". La notion de vecteur est bien sûr absente.

Le professeur d'aujourd'hui qui aime chiner chez les bouquinistes peut, à la lecture de ce genre de manuel, se poser des questions sur ses exigences et il peut y trouver aussi de bonnes vieilles propriétés qui méritent peut-être d'être transformées en situations d'enseignement.