n°5, mars 1998
n°5, mars 1998
Les nombres premiers ont exercé depuis toujours une véritable fascination sur les mathématiciens comme sur les profanes. De multiples questions se posent. Deux sont fondamentales.
Première question : y a-t-il beaucoup de nombres premiers ?
Réponse (les grecs et Euclide la connaissaient) : il y en a une infinité. On pourrait même dire qu’il y en a une " grosse " infinité : environ 1 nombre sur 6 est premier jusqu’à mille, 1 nombre sur 13 jusqu’à un million, et 1 nombre sur 20 jusqu’à un milliard (il y a exactement 50 847 734 nombres premiers jusqu’à un milliard). Sortez maintenant votre calculette et vérifiez que 20 est à peu près égal à : ln 109 - 1 ; ce n’est pas un hasard et on en reparlera plus loin.
Deuxième question : les nombres premiers, dont on vient de voir qu’ils se raréfient - lentement - sont-ils répartis régulièrement ou irrégulièrement ?
Si vous prenez un télescope pour voir de très loin la galaxie
des nombres premiers, alors elle est vraiment très régulière. Par exemple, voici
un tableau comptabilisant les nombres premiers entre deux limites :
| 500 000 - 600 000 |
7 560 |
| 600 000 - 700 000 |
7 445 |
| 700 000 - 800 000 |
7 408 |
| 800 000 - 900 000 |
7 323 |
| 900 000 - 1 000 000 |
7 224 |
Mais si vous vous rapprochez, alors les choses commencent à devenir irrégulières.
Voici deux nouveaux tableaux avec une " échelle " plus grande :
| 860 000 - 861 000 |
77 |
861 000 - 861 100 |
11 |
|
| 861 000 - 862 000 |
74 |
861 100 - 861 200 |
8 |
|
| 862 000 - 863 000 |
83 |
861 200 - 861 300 |
4 |
|
| 863 000 - 864 000 |
60 |
861 300 - 861 400 |
5 |
|
| 864 000 - 865 000 |
80 |
861 400 - 861 500 |
6 |
|
| 865 000 - 866 000 |
80 |
861 500 - 861 600 |
8 |
|
| 866 000 - 867 000 |
68 |
861 600 - 861 700 |
5 |
|
| 867 000 - 868 000 |
78 |
861 700 - 861 800 |
9 |
|
| 868 000 - 869 000 |
80 |
861 800 - 861 900 |
9 |
|
| 869 000 - 870 000 |
73 |
861 900 - 862 000 |
9 |
Et si vous prenez maintenant un microscope pour voir tous les détails, alors l’irrégularité est extrême. Le meilleur indicateur de l’irrégularité " locale " est la différence entre deux nombres premiers consécutifs. Entre 861 000 et 862 000 il y a 74 nombres premiers et donc 73 différences, dont la moyenne est 13 1/2.
La plus petite différence possible est 2, et il y a 6 couples de " nombres premiers jumeaux " de (861 437 , 861 439) à (861 977 , 861 979).
Mais il y a aussi des grandes différences : la plus grande est 54, soit 4 fois la valeur moyenne, entre 861 239 et 831 293.
Euler est le premier à montrer qu’il y a " beaucoup " de nombres
premiers, en prouvant en 1737 que la série 
diverge.
Pour préciser la " loi de raréfaction " des nombres premiers, il faut
introduire la fonction de compte p (x), qui est définie comme le nombre
de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. À partir de Gauss (1792)
et Legendre (1798), conjuguant expérimentation et arguments heuristiques, on
conjecture l’équivalence entre 
,
dont l’affirmation s’appelle le théorème des nombres premiers.
Tchebychev montre qu’il s’agit du bon ordre de grandeur en établissant
en 1852 l’encadrement :
Enfin, De La Vallée-Poussin et Hadamard démontrent indépendamment en 1896 le théorème des nombres premiers.
Mais l’histoire ne s’arrête pas là car on peut s’interroger sur
le reste. Le " bon " terme principal n’est pas mais
le logarithme intégral : 
(le développement complet est divergent !), et on doit écrire
p (x) = li(x) + R(x). Le meilleur reste actuellement
connu est : R(x) = O(x exp(- (ln x)3 / 5 -
e )) et la " grande " question est la suivante : a-t-on R(x)
= O(xq ) pour une valeur de q inférieure à 1 ? La réponse dépend
de la localisation des zéros de la très célèbre fonction zêta (Euler, 1737,
Riemann, 1859) : 
(s est une variable complexe et le produit infini est pris sur l’ensemble des nombres premiers). Cette fonction, définie a priori pour Re(s) > 1, peut être prolongée à tout le plan complexe (avec un pôle en s = 1). Elle possède une infinité de zéros sur la droite Re(s) = 1/2 et, si on peut montrer qu’elle n’a aucun zéro pour Re(s) > q , alors on a R(x) = O(xq + e ) ; c’est l’hypothèse de Riemann (généralisée) et probablement la question ouverte (maintenant que celle du théorème de Fermat est refermée) la plus célèbre des mathématiques.