Rappel du problème

Notons T(x) le nombre de noix de coco laissées par un marin après sa manipulation sur un tas qui en contenait x. Il est clair que T(x) = 4/5 (x - 1). Le problème consiste à trouver le plus petit x tel que T ⁶(x) soit entier.

Or T ⁶(x) = (4/5)⁶ x - ((4/5)⁶ + (4/5)⁵ + ...+ (4/5)) de sorte que : T ⁶(x) - T ⁶(y) = (4/5)⁶ (x - y), d’où la remarque : si x est solution, alors y est solution si et seulement si x º y [5⁶]. À ce stade, on peut se lancer dans de longs calculs ou espérer une solution particulière. L’idée consiste à regarder si T a un point fixe entier (qui fera donc l’affaire)...

T(-4) = -4, donc -4 répond au problème posé (le problème mathématique, pas celui des noix de coco !) et fournit la plus petite solution : -4 + 5⁶ = 15 621.