par Denis GAUTHIER

Lycée Bernard Palissy 47000 AGEN

Ces expériences et ces enregistrements à l'ordinateur avec la carte PC MS3 et le logiciel SYNCHRONIE s'inscrivent dans la partie du programme de Terminale S, illustration expérimentale de la complexité des phénomènes oscillants. Trois oscillateurs de relaxation sont présentés ici avec leurs trajectoires de phase.

Le vase de Tantale est une illustration souvent choisie ; l'utilisation d'un capteur de pression différentielle très sensible simplifie l'enregistrement de ses oscillations (§ 1).

Une analogie électrique en est donnée par la charge à intensité constante d'un condensateur suivie de sa décharge dans une résistance, charge et décharge commandées par un dispositif électronique (comparateur à hystérésis et transistor en tout ou rien) (§ 2). Ce dispositif est emprunté à la chaîne électronique de régulation thermique d'un four, proposée par Monsieur l'Inspecteur Général R. Moreau dans le cadre des précédents programmes de seconde (BUP n° 687, octobre 1986), et que j'utilise en option IESP de seconde : comme beaucoup de Lycées de l'Académie de Bordeaux, le Lycée B. Palissy possède plusieurs exemplaires de cette chaîne, construits par le Centre de Fabrication de Matériel Scientifique du L.T.E. d'Agen (maintenant fermé).

Ce four électrique, ainsi régulé, constitue lui aussi un exemple d'oscillateur de relaxation (§ 3).

L'enregistrement nécessite la réalisation d'une tension u proportionnelle à la hauteur de liquide z dans le vase.

Cette tension peut-être obtenue en utilisant le rhéostat d'une jauge à essence de voiture que l'on place dans le vase et dont le flotteur fait varier la résistance avec le niveau de l'eau (Jean Pierre Defossez, Francis Fréchinet, Denis Gauthier : actes des 7^èmes journées Informatique et Pédagogie des Sciences Physiques de Bordeaux, février 1996).

On peut aussi la créer en transformant le vase en cuve rhéographique d'écartement variable, avec un plaque de cuivre placée au fond et l'autre, sous un bouchon, suivant le niveau du liquide (Eric Castet, BUP n° 792 : mars 1997).

La sortie récente d'un capteur de pression différentielle ± 20 mBar CD2000PaD1 rend la réalisation de cette tension très simple et très fiable. Ce capteur donne une tension (V) de même valeur numérique que la différence de pression (mBar) entre le fond du vase et la pression atmosphérique : on a donc, u(V) numériquement égale à z(cm).

Il se présente sous la forme d'un boîtier parallélépipédique de petites dimensions (L = 6 cm ; l = 3 cm ; h = 1,8 cm) surmonté de deux petits cylindres (f = 4,8 mm) sur lesquels on adapte des tuyaux souples pour recevoir les pressions entre lesquelles on mesure la différence : port A (+) relié au point de pression la plus forte et port (B) (-) relié au point de pression la plus basse.

Ce capteur est formé d'un pont piezorésistif implanté sur un substrat de silicium déséquilibré par l'existence d'une différence de pression entre A et B, et d'un dispositif de traitement donnant décalage et amplification. Il est relié par un prise DB9 (ou minidin) à la carte du convertisseur analogique-numérique dont il utilise la tension 5 V comme alimentation V⁺ et à laquelle il donne la tension u.

Figure 1

Le vase de Tantale est réalisé avec une cuve en verre cylindrique d'hydrostatique (diamètre intérieur, D = 13,2 cm ; hauteur 21,5 cm), munie vers le bas d'une ouverture à laquelle on adapte un tube en U recoudé (diamètre intérieur, d = 1,1 cm ; h₀ = 11 cm ; h' = 3 cm). On alimente le vase par un robinet de la distribution urbaine, équipé d'un tuyau caoutchouc pour éviter le clapot. Le port A (+) est mis à la pression du fond du vase par un tuyau souple et une pipette de verre fixée au vase ; le port B (-) est à la pression atmosphérique.

Le débit D₀ du robinet est réglé assez faible pour permettre la vidange, mais pas trop pour donner un désamorçage net du siphon. Le deuxième coude, côté A, est difficile à réaliser ; il n'est pas indispensable mais il permet un désamorçage du siphon plus franc.

Il est réalisé sur une durée de 400 s.

Figure 3.

Cette figure contient une modélisation de la vitesse, vz = vz₂, au cours de la vidange, traitée plus loin (§ 1-3-3).

Pour chaque phase, cette équation est donnée par la conservation, entre t et t + dt, du volume de liquide d'une partie élémentaire du vase (section S et épaisseur dz) ; on en tire, chaque fois, l'expression de vz = dz / dt. On appelle D₀, le débit constant du robinet, et v_C, la vitesse d'écoulement du liquide à la sortie C du siphon.

D₀ . dt = S . dz et vz₁ = dz / dt = D₀ / S (1)

S . dz = D₀ . dt - s . v_C . dt et vz₂ = dz / dt = D₀ / S - (s / S) . v_C = vz₁ - (s / S) . v_C (2)

Dans ce dispositif on a S >> s et on peut assimiler le régime permanent au régime permanent d'un fluide parfait. L'application du théorème de Bernoulli permet d'exprimer v_C par la relation, .

C'est ce que l'on constate sur les courbes vz(t) de la Figure 4 et vz(z) de la Figure 5, pour les phases de remplissage. Le bruit des paliers de la courbe vz(t) est du à la dérivation informatique de la suite discrète des valeurs de z qui accentue les petites imperfections de z ; il est atténué en utilisant le paramètre MOYENNE de la rubrique ACQUISITION (pour chaque mesure demandée, le logiciel prend pour valeur la moyenne de n acquisitions successives, ici 8) et en effectuant ensuite un lissage de la courbe.

On relève, vz₁ = 3,0 x 10^-1 cm.s^-1 = 3,0 x 10^-3 m.s^-1 et on peut en tirer le débit du robinet :

D₀ = vz₁ . S = vz₁. p D² / 4 = 0,003 x p x (0,132)² / 4 = 4,1 x 10^-5 m³.s^-1 = 41 mL.s^-1

vz₂ = vz₁ - (s / S) . = vz₁ - (d / D)² . < 0

Au cours de cette phase, la hauteur d'eau z diminue dans le vase; v_C décroit, et avec, la valeur absolue de vz₂ < 0.

Ici aussi, c'est ce que l'on observe sur les courbes vz(t) de la Figure 4 et vz(z) de la Figure 5, pour les phases de vidange.

On pourrait avoir v_C et par suite vz₂ pratiquement constantes en utilisant un dispositif dans lequel h' serait grand devant z_max.

Avec les paramètres du dispositif utilisé et en prenant la valeur expérimentale de vz₁ = 0,3 cm.s^-1, on peut exprimer vz₂ par la relation : vz₂ (cm.s^-1) = 0,3 - 0,007.

La FEUILLE DE CALCUL du logiciel permet de tracer la courbe vz₂(z) en programmant :

vz₂ = 0.3 - 0.007 * SQRT(1962*(3 + z))

Cette courbe est représentée dans la Figure 5.

Dans le domaine de z décroissant et correspondant au régime permanent de la vidange [10,2 cm ; 2,7 cm], on note une bonne coïncidence entre vz₂(z) modélisée et vz₂(z) expérimentale sur la trajectoire de phase de la Figure 5.

Ce rapprochement donne une vérification expérimentale satisfaisante des approximations faites conduisant à l'application du théorème de Bernoulli et de l'expression, .

On peut obtenir une analogie électrique des oscillations précédentes avec un condensateur dont la charge à intensité constante et la décharge dans une résistance sont déterminées par un interrupteur électronique, commandé par la valeur et le sens de variation de la tension u_AM aux bornes de ce condensateur.

Ce dispositif est formé d'un amplificateur opérationnel comparateur à hystérésis et d'un transistor en tout ou rien, pris dans la chaîne électronique de Monsieur Moreau.

La pile ne débite pas : on a donc U_PN = E = constante.

Par ailleurs :

V_D - V_A = - e + E = E et V_D - V_A = R₀ . i

d'où

Avec un millampèremètre, on ajuste, i = I = 1 mA.

2-1-2 L'interrupteur commandé par u_AM :

La tension u_AM, aux bornes du condensateur, est appliquée à un amplificateur opérationnel comparateur à hystérésis dont on peut régler la tension de milieu de cycle et la largeur du cycle grâce à deux rhéostats P₁ et P₂.

On a : R₁ = 470 W ; P₁ = R₂ + R₃ = 1 kW ; R₄ = 2,7 kW ; P₂ = R₅ = 10 kW et R₆ = 150 kW .

L'ensemble (R₁, R₂, R₃ et R₄ ) forme un pont diviseur donnant :

L'amplificateur opérationnel 1 est monté en suiveur avec : u' = u.

L'amplificateur opérationnel 2 est monté en comparateur à hystérisis. Suivant les valeurs de u_AM et de U_réf, u₂ ne peut prendre que deux valeurs : u₂ = - V_sat et u₂ = + V_sat.

sur la maille (M, S₁, E+₂, S₂, M), - u - (R₅ + R₆) . i + u₂ = 0 et i = (u₂ - u) / (R₅+ R₆) :

sur la maille ( M, E+₂, S₂, M), - U_réf - R₆ . i + u₂ = 0 et i = (u₂ - U_réf) / R₆ ;

on en tire, U_réf = (R₅ . u₂ + R₆ . u) / (R₅ + R₆)

et ses deux valeurs possibles, liées aux deux valeurs de u₂,

tension au milieu du cycle, U_m = (U_réf1 + U_réf2) / 2 = (R₆ / (R₅ + R₆)) . u , réglable par P₂ = R₅ et par P₁ faisant varier u ;

largeur du cycle, 2 d U = U_réf2 - U_réf1 = (2 R₅ / (R₅ + R₆)) . V_sat = (2 / (1 + R₆ / R₅)) . V_sat , réglable par P₂ = R₅.

La tension u₂ est inversée par un A.O. et on applique u'₂ = - u₂ entre la base et l'émetteur d'un transistor NPN (transistor de puissance TIP 111 dans la chaine pour conduire un courant élevé alimentant le four électrique, pas nécessaire ici avec un courant faible).

Quand u'₂ = - V_sat , le transistor est bloqué, assimilable à un interrupteur ouvert. Quand u'₂ = + V_sat, le transistor est passant saturé, assimilable à un interrupteur fermé avec, u_CE = U_t = 0,7 V = constante (mesuré avec un voltmètre) dans le domaine de fonctionnement utilisé ; il relie alors l'armature M du condensateur à la résistance R = 330 W .

Ce changement de signe de u₂ est nécessaire pour avoir la fermeture (décharge du condensateur) à la limite supérieure U_réf2 et l'ouverture (charge du condensateur) à la limite inférieure U_réf1 : le fonctionnement est ici inversé par rapport à la chaîne de Monsieur Moreau.

Les tensions limites, entre lesquelles vont se faire les charges et décharges successives du condensateur, sont données par les valeurs, de la tension au centre du cycle d'hystérésis U_m et de la largeur de ce cycle 2 d U.

Pour effectuer ces réglages, on applique à l'entrée du comparateur, la tension sinusoïdale u_G d'un GBF avec une amplitude supérieure à 4 V et une fréquence de quelques centaines de Hertz. Cette tension u_G est transmise à la voie 1, et la tension de sortie inversée u'₂ à la voie 2 d'un oscilloscope en XY.

On rend, d U = V_sat / (1 + R₆ / R₅) " 0 en tournant P₂ à fond dans le sens + pour donner à R₅ sa valeur minimale ; ce qui donne, U_réf1 " U_réf2 " U_m.

On règle ensuite, U_m = (R₆ / (R₅ + R₆)) . u, en modifiant u grâce à P₁ que l'on ne touchera plus quand la valeur souhaitée pour U_m sera obtenue.

Le cycle est élargi en tournant P₂ en sens négatif jusqu'à obtenir les valeurs limites souhaitées pour u = u_AM.

Les tensions u_G et u'₂ sont appliquées en voies 1 et 2 de l'ordinateur pour une acquisition sur trois ou quatre périodes et on fait tracer u₂ = f(u) (Figure 10).

Les réglages précédents donnent pour limites de u_AM : 1,2 V et 2,6 V. On prend une durée d'acquisition de 60 s.

* Avec u = u_AM = q_A / C = q / C et le sens + choisi pour i rentrant dans l'armature A, on a :

La FEUILLE DE CALCUL permet au logiciel de tracer i(t) en écrivant :

* On retrouve les deux phases :

• i = I = 1 mA = constante > 0, pendant la charge ;
• i < 0, croissant en valeur algébrique et décroissant en valeur absolue, de façon exponentielle pendant la décharge.

* L'additivité des tensions successives permet d'écrire :

u_MA + u_AF + u_FM = - q / C + R . (I - i) + U_t = 0

avec i = dq / dt

R . dq / dt + q / C = U_t + RI = U

Cette équation a une solution de la forme :

q = K . e^{- t / RC} + CU

L'interrupteur commandé se ferme à t = 0, quand la tension u = u_AM atteint u_max = 2,6 V en croissant : on a donc à t = 0, q = q₀ = C . u_max. La référence aux conditions initiales permet de calculer K et d'exprimer q :

q₀ = C . u_max = K + CU d'où K = C . (u_max - U) ;

et

* On en déduit :

i = dq / dt = - ((u_max - U) / R).e^{- t / RC} = - ((u_max - U_t - RI) / R) . e^{- t / RC}

soit

i = - I₀ . e^{- t / RC} avec I₀ = ((u_max - U_t) / R) - I

Avec les paramètres du montage l'équation (1) donne :

I₀ = ((2,6 - 0,7) / 330) - 0,001 = 4,7 x 10^-3 A et RC = 1,55 s

La FEUILLE DE CALCUL du logiciel permet de tracer la courbe i(mod(t), définie physiquement sur un intervalle de temps correspondant à la décharge du condensateur, en programmant avec t_0n date de début d'une décharge :

imod = - 0.0047 * exp(- (t - t_0n) / 1.55)

soit pour l'intervalle [12,9 s ; 15,5 s],

La courbe imod(t) obtenue est représentée sur la Figure 15 avec la courbe i(t) expérimentale.

Dans le domaine de définition physique (12,9 s < t < 15,5 s), ces deux courbes ont une bonne coïncidence montrant la validité de cette modélisation.

Dans cet exemple, on trouve des grandeurs électriques ayant des variations analogues à celles des grandeurs mécaniques utilisées avec le vase de Tantale : u(t) (ou q(t) = u(t) / C) et z(t) ; i(t) et vz(t).

La résistance R₀ joue un rôle analogue au robinet : elle permet de faire varier le courant I et la vitesse de la charge du condensateur. La résistance R, un rôle analogue à la section s et à la dénivellation h' du siphon : elle permet de faire varier le courant (I - i) et la vitesse de décharge du condensateur.

Cette chaîne est formée de 5 modules et on y retrouve les modules M3 et M4, utilisés pour les oscillations du condensateur. Le capteur de température est une diode silicium traversée par un courant constant de 1 mA, fourni par un générateur de courant construit à partir de l'alimentation + 15 V et d'un transistor NPN ; la tension, v = u_AK, aux bornes de cette diode est alors une fonction affine décroissante de la température, v = v₀ - kq . Les modules M1 et M2 permettent d'obtenir une tension, u₂ = Kq avec K = 0,1 V.°C^-1. Actuellement, cette tension u₂ peut-être aussi obtenue avec un capteur thermique intégré LM35 donnant, v = K_0q avec K₀ = 0,01 V.°C^-1 et une amplification par 10.

Des réglages sur le cycle d'hystérésis, identiques à ceux du paragraphe précédent, permettent de fixer les températures limites q ₁ et q ₂ entre lesquelles est régulée la température du four.

Le four est formé d'une petite enceinte (boite en carton ou boite métallique), chauffée par une une résistance de 3,3 kW et une alimentation de puissance 6 V ou 12 V.

Les réglages permettent d'avoir pour limites de q : 27,5 °C et 37,5 °C. On fait une acquisition sur 2000 s.

On a q (°C) numériquement égale à 10 u₂ (V). On obtient la courbe q (t) = tempé(t), en enregistrant u₂(t) avec une amplification par 10.

Cette courbe doit-être améliorée par un pré-lissage de tempé(t) (paramètre MOYENNE de la rubrique ACQUISITION) et un post-lissage de vtempé(t). Voir figure 18.

Pour chacun de ces oscillateurs de relaxation, un paramètre varie périodiquement dans le temps entre deux valeurs limites : le niveau z de l'eau, pour le vase de Tantale ; la tension u entre ses bornes ou la charge q, pour le condensateur ; la température q , pour le four électrique.

Les oscillateurs de relaxation n'ont pas d'état d'équilibre. Ils évoluent entre deux états extrêmes avec, en général comme dans ces exemples, deux phases : une phase pendant laquelle ils reçoivent de l'énergie et une phase pendant laquelle ils cèdent de l'énergie au milieu extérieur.