Les énergies cinétique, potentielle élastique et mécanique,

• Visualiser l'évolution des énergies en fonction de la position et le portrait de phase,
• Modéliser l'élongation x(t) à partir des outils modélisation et équations différentielles.

Il s'agit d'étudier les oscillation d'un mobile sur le banc à coussin d'air. Il faut convertir la grandeur élongation x en une tension électrique u. Cette conversion se fera par l'intermédiaire d'une cuve rhéographique.

Le mobile de masse m est fixé à deux ressorts dont la raideur équivalente sera désignée par k.

Entre les armatures planes, parallèles, distantes de d, on établit une tension UAB. Une électrode de référence sera fixée en O et on mesurera la tension u entre l'extrémité M de la tige solidaire du corps S en oscillation et cette référence O.

On en déduit que u = et x =

Il conviendra d'ajuster la position de la cuve pour que le corps étant au repos, la tension u mesurée au voltmètre soit nulle.

La tension u sera accessible pour tous les postes de travail par l'intermédiaire de la ligne " sèche ". Cette tension est disponible sur le boîtier marqué Bureau et sera renvoyée vers la carte d'acquisition.

Il s'agit d'une acquisition au cours du temps : une seule voie est utilisée.

• Il faut paramétrer l'acquisition en

- définissant la voie utilisée en mode automatique,

- en précisant le nombre de points de mesure et la durée entre deux points de mesure,

- en choisissant un déclenchement de l'acquisition à un niveau donné (0V) dans un sens donné (montant) ce qui est l'équivalent de la synchronisation sur un oscilloscope.

on ne validera par OK que lorsque toutes les fenètres nécessaires auront été saisies.

Valider par OK ce paramétrage.

Il n'y a pas eu de paramétrage d'échelle : le tracé se fera en échelle automatique avec par défaut le temps T pour abscisse.

• A l'aide de l'outil réticule en mode relatif, mesurer la période P des oscillations (attention l'identificateur T est réservé au temps) : pour utiliser le réticule en mode relatif, sélectionner ce mode puis cliquer (gauche) deux fois pour fixer l'origine relative, puis tirer avec la souris clic enfoncé. La valeur de la période s'affiche.
• La raideur k sera calculée dans la feuille de calcul : k=

La vitesse se calcule par la dérivée de l'élongation par rapport au temps

Feuille de calcul : saisir v = derive(x,T) valider par F2

On fera afficher les deux graphes en sélectionner l'icône mosaïque : on pourra ainsi observer l'évolution de la vitesse par rapport à l'élongation (On pourrait superposer dans la même fenêtre les deux courbes mais leurs valeurs numériques étant fondamentalement différentes, les échelles ne seraient pas adaptées).

L'énergie cinétique Ec = 0.5 * (valeur de m)*v*v

L'énergie potentielle élastique Ep = 0.5 * k * x * x

L'énergie mécanique Em = Ec + Ep

Faire afficher en fenêtre 3, ces trois courbes en fonctions du temps .

On notera l'amortissement (voir courbes page suivante)

Il s'agit d'une représentation simplifiée où l'élongation x sera mise en abscisse et v en ordonnée ceci en fenêtre 4.

6° - Evolution des énergies en fonction de l'élongation

Faire afficher en fenêtre 5, les courbes Ec, Ep et Em avec pour abscisse x on obtient les graphes ci-dessous

• sélectionner la variable à modéliser : x
• entrer la fonction modèle : Ym * sin(2*pi/P*X) TT désigne la période et Ym l'amplitude
• Prendre une précision 0.001
• Lancer le calcul par l'icône calculer
• La fenêtre variable s'active : y entrer des valeur approchée de Ym et P
• Lancer le calcul : la courbe modèle s'affiche sur la courbe x
• Pour ajuster la modélisation, c'est à dire le calcul des paramètre Ym et P, cocher les cases actif et lancer le calcul : le modèle et les valeurs des paramètres s'affichent.

La courbe modèle ne présente pas d'amortissement;

la recherche porte sur la solution d'une équation différentielle du type

On peut créer les conditions d'un amortissement fluide ou d'un amortissement solide.

• Sauvegarder le travail toujours sous le même nom.

Dans ce cas la durée d'acquisition devra être augmentée pour bien montrer cet amortissement on va choisir environ 10 s : paramétrer pour avoir 500 points.

• Lancer l'acquisition.
• Dès la fin de l'acquisition, les courbes se tracent. On peut observer toutes les grandeurs.
• On peut également faire une modélisation par une fonction du type :
• Y = Ym - exp (-m * X ) * sin (2 *pi / P * X + phi)
• Le coefficient m sera pris de l'ordre de 0.2.
• Les coefficients étant actifs, la modélisation est très satisfaisante.
• On peut également trouver une solution par l'équation différentielle 2° ordre avec coefficient b voisin de b = 0.25