Rappel du problème

Supposons qu’il existe un triangle ABC équilatéral dont les sommets sont sur les nœuds d’un quadrillage carré et appelons a la longueur de son côté (l’unité choisie étant le côté des carrés).

On démontre sans peine que l’aire du triangle est égale à a²  / 4, qui est un nombre irrationnel car, d’après le théorème de Pythagore, a² est entier.

Mais en calculant cette même aire comme différence de l’aire du quadrilatère AOPQ dans lequel est inscrit le triangle et de la somme des aires des trois triangles ABQ, ACO et BPC, on trouve que cette aire est rationnelle.

Un tel triangle n’existe donc pas.