Rappel du problème

Solution de Réciproques

Soit n un entier non nul.
Considérons la suite des n+1 nombres ayant pour écriture décimale
1, 11, 111, …, 11 ….1 ( avec n+1 chiffres).
D'après le principe de Dirichlet, il existe alors deux nombres ayant le même reste dans la division euclidienne par n.
La différence de ces deux nombres est donc un multiple de n et s'écrit : 11…100…0.

Merci à tous les collègues qui nous ont adressé leurs solutions. Une très grande majorité utilisait le principe de Dirichlet ou principe des tiroirs.
Voici quelques unes des réponses.

________________________________________________________________________

Patrick Levesque

Soit X le nombre dont on cherche un multiple M qui s'écrit uniquement avec des zéros et des uns.

Considérons la suite u définie de la façon suivante :
u(n) s'écrit, en base 10, avec n uns. ( u(n) = ( 10 puissance n - 1 ) / 9 )
Ex : u(4) = 1111

Si nous cherchons les restes de la division de u(n) par X, pour n=1 à X+1, nécessairement nous trouverons DEUX (au moins) restes égaux ! (En effet, nous aurons X+1 restes, chacun compris entre 0 et X-1 !), l'un pour n=p, l'autre pour n=q avec p<q.

Le Nombre M = u(q) - u(p) répond à la question.

Remarque : On obtient un multiple répondant à la question mais il y en a peut-être de plus petits ? !

_________________________________________________________________________

Robert PERONNET

La réponse étant évidente pour n = 0, on suppose que n est un entier naturel non nul.

Pour tout p, entier non nul, on pose u_p = 11…1 (p fois 1) et on appelle r_p la reste de la division euclidienne de u_p par n.
On a 0 <= r_p <n
r_p ne prend que n valeurs distinctes.

En donnant à p (n + 1) valeurs distinctes, à l'aide du principe des tiroirs de Dirichlet, on peut affirmer qu'il existe deux valeurs i et j (i > j) parmi ces (n + 1) valeurs telles que
r_i = r_j
On a u_i -u_j congru à r_i - r_j congru à 0 modulo n
Donc u_i - u_j est un multiple de n et u_i - u_j s'écrit 11…100…0 [(i - j) chiffres 1 et j chiffres 0]

Remarque 1
Si on suppose de plus que n est premier avec 10, grâce au théorème de Gauss, on peut affirmer que n admet un multiple s'écrivant uniquement avec des 1.

Remarque 2 (prolongements)
On appelle dessin binaire D une suite ordonnée de 0 et de 1 qui finit par 1.
Exemple : D = 11011 est un dessin binaire.
Montrer que tout nombre entier, premier avec 10, possède un multiple qui s'écrit DD…D00…0, où le nombre de zéros est le plus grand des exposants de 2 et de 5 dans la décomposition de n en facteurs premiers.

_______________________________________________________________________

P. Terracher

Soit n un entier non nul.
Considérons les n+1 nombres d'écriture décimale 1, 11, 111, ., 11 ..1 ( avec n+1 chiffres).
D'après le principe des tiroirs, deux de ces nombres ont même reste dans la division euclidienne par n.
Leur différence donc divisible par n et par ailleurs s'écrit : 11.100.0.

Remarque de P.Terracher : c'est la plus "simple" (cad sans faire appel au théorème d'Euler - Fermat) que je connaisse."