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Jeux et énigmesn°19, décembre 2002
| La ronde des points |
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Jeux et énigmes n°19, décembre 2002 |
Soit n un entier naturel fixé et soit
On démontre facilement que sin ap et cos ap sont tous deux rationnels.
la partie supérieure du cercle trigonométrique et sont donc distincts.
Le dessin montre les 10 points construits pour p = 7.
Pour un cercle de rayon 1, on a, pour tout couple (r, r’), d(Mr ; Mr’) = 2|sin(r’ - r)ap|.
Or, pour tout n entier naturel, sin(na) s’écrit comme une somme polynomiale de cos a et de sin a. Ceci prouve que les distances entre deux points quelconques de la suite (Mr) sont toutes rationnelles.
Les points Mr étant en nombre fini, on peut choisir k entier suffisamment grand pour que l’homothétie de centre O et de rapport k transforme les points Mr en une famille de points qui convient.