Premier de la classe

, Jeux et énigmes
n°20, mars 2003

Parmi 10 entiers consécutifs, 5 sont impairs. C'est parmi eux que l'on cherche l'élément susceptible d'être premier avec tous les autres.

Si l'on désigne par d un diviseur premier commun à deux de ces 10 nombres a et b, on a d qui divise | a - b | et donc d <= 9 ; d'où d = 3 ou 5 ou 7 (car d est différent de 2). Or parmi les 5 nombres impairs, il y a un multiple de 5, au plus deux multiples de 3 et un multiple de 7, donc au plus quatre d'entre eux sont divisibles par 3, 5 ou 7. L'un d'eux n'est donc divisible ni par 3, ni par 5, ni par 7. Celui-ci est premier avec tous les autres.

Dans toute suite d'entiers consécutifs de longueur inférieure à 17, il en existe un qui n'est pas premier avec tous les autres. La première n'ayant pas cette propriété est formée des entiers de 2184 à 2200.