• obtenir, en utilisant l'oscilloscope à mémoire et sa fonction Prétrig, une courbe expérimentale de l'amorçage des oscillations, courbe transférée grace au logiciel DATASCOPE dans le logiciel PHYSCOPE ;
• faire tracer, en utilisant la résolution d'équation différentielle de PHYSCOPE, la courbe théorique de cet amorçage, solution de l'équation de Van der Pol correspondant aux paramètres de l'oscillateur électrique utilisé ;
• rapprocher ensuite ces deux courbes..

R = 1 kW ; C = 47 nF ; L = 4,7 mH et r = 47 W ; R₁, boite de résistance x 10 W et x 100 W .

Avec le protocole suivant, on fait tracer deux courbes : pour R₁ = 100 W un peu supérieur à r et pour R₁ = 500 W grand devant R₁.

* Oscilloscope en mode normal et R₁ > r : vérifier que l'ouverture de K, interrupteur qui court-circuite R₁, déclenche les oscillations ; faire les réglages des sensibilités ; régler le niveau de synchronisation à 0,2 div (VISU).

* Oscilloscope en mode mémoire : activer MEM et MODE SGL ; PRETRIG, placer l'indicateur dans la fenêtre de l'écran ( 5 positions possibles répartissant les 4000 points enregistrés avant et après la synchronisation : 0 et 4000 ; 1000 et 3000 ; 2000 et 2000 ; 3000 et 1000 ; 4000 et 0 ) ; K fermé, lancer l'acquisition par RUN. A l'aide des flèches de déplacement horizontal, on déplacera la courbe sur l'écran pour diminuer la zone u = 0.

* Le port série de l'ordinateur est relié à l'oscilloscope. Dans PHYSCOPE, activer MATERIEL puis OSCILLOSCOPE NUMERIQUE. Le logiciel DATASCOPE apparait ; après la reconnaissance du port COM 1 ou COM 2, on fait l'acquisition de la courbe affichée à l'écran de l'oscilloscope.

* On quitte DATASCOPE sans sauver et on retrouve la courbe dans PHYSCOPE avec le temps en abscisse repéré par TOSC (temps oscillo) ; le transfert entraine parfois un décalage en ordonnée (raisons inconnues...?) que l'on corrige par la feuille de calcul en créant une nouvelle variable u = CH1 - décalage mesuré. On affiche dans la fenêtre 1, u = Ri en fonction de TOSC.

z'' - p(1 -z²/a²).z' +w ₀².z = 0

Si z < a , il y a amplification des oscillations ;

si z > a , il y a amortissement des oscillations.

* L'équation du circuit oscillant,

q'' + ((r - R₁)/L).q' + (1/LC).q = 0,

devient avec i = q', i' + ((r - R₁)/L).i + (1/LC).q = 0 ;

soit, en dérivant /t, i'' + ((r - R₁)/L).i' + (1/LC).i = 0.

En multipliant par R et avec u = Ri, on obtient : u''+ ((r - R₁)/L).u' + (1/LC).u = 0.

* L'équation de Van der Pol introduit un facteur, (1- z²/a² ) = (1 - 4z²/z_m²), sur le terme en dérivée première. L'équation précédente donne, avec u_m = 4 a²:

Activer dans le menu : Traitement - Equations différentielles - Equation de Van der Pol.

* Le traitement de PHYSCOPE présente l'équation de Van der Pol sous la forme :

En prenant a = 1, le rapprochement de (1) et (2) donne :

b = (r - R₁)/L ; µ = 4/u_m² ; c = 1/LC = w ₀².

* Pour chaque courbe expérimentale enregistrée, on calcule ces coefficients, avec ces relations et les paramètres du circuit ; et on les affiche dans le tableau du traitement de l'équation.

* Valeur initiale de y = u : avant le début des oscillations, u = 0 et on prend donc y₀ = u₀ = 0.

* Valeur initiale de y' = u' : elle correspond à une perturbation captée par le condensateur ou la bobine entrainant l'apparition d'un courant très faible di et une variation instantanée du/dt = R.di/dt ; cette valeur est aléatoire et sera trouvée par tâtonnement en rapprochant la courbe théorique de la courbe expérimentale : elle est de l'ordre de 10, avec R₁ proche de r ; et de l'ordre de 100, avec R₁ grand devant r.

* Après ajustement des valeurs des coefficients et des conditions initiales, on fait tracer, dans deux fenêtres du même écran, les deux courbes u_exp(t) et u_th(t) pour chaque valeur de R₁ , Figure 1.

* On fait aussi tracer, pour les deux valeurs de R₁, les trajectoires de phase u'(u) des solutions de l'équation de Van der Pol : dans le menu du bas de l'écran, Plan de phase (F8), Figure 2.