Title: Bonsoir,
Author: JB
Last saved by: JM Parouty
Company: Perso

Module : exercice de logique

La balance à Jef

Les douze boules ! ! ! !

La balance à deux plateaux, appelée balance de Roberval, est depuis longtemps dépassée, le petit exercice suivant contribuera à la réhabiliter.

On donne 12 boules identiques extérieurement mais dont l’une (une seule) n’a pas la même masse que les autres. Comment déterminer cette boule en utilisant au maximum 3 pesées avec une balance à deux plateaux.
Remarque importante : on ne sait pas si la boule est plus lourde ou moins lourde que les autres.
Rappel : les masses sur les deux plateaux d’une balance sont égales si elle est en équilibre (plateaux à la même hauteur), sinon elle penche du côté du plateau sur lequel se trouve la masse la plus lourde.

Plus facile : on sait qu’il y a une boule plus lourde.

Une solution possible
Soit a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l les douze boules. On désigne par x
la boule cherchée et par n l’une quelconque des autres boules.

1ère pesée :
On compare les masses a + b + c + d  et  e + f + g + h.
Si a + b + c + d = e + f + g + h alors x appartient à {i, j, k, l}.
Voir plus loin 2ème pesée bis.
Si a + b + c + d < e + f + g + h il faut passer à 2ème pesée
Si a + b + c + d > e + f + g + h il faut passer à 2ème pesée (en fait ce cas est le même que le précédent)

2ème pesée :
Nous savons que x n’est ni i, ni j, ni k, ni l.
D’après la 1ère pesée on a, par exemple, a + b + c + d < e + f + g + h.
Comparons a + b + g + h  et  e + i + j + k.
•	S’il y a égalité alors x est soit c, soit d, soit f et on sait que c + d <  f + n.
•	 Pour trouver x il faut faire une autre pesée comme ci-dessous à la ligne 3ème pesée.
* S’il n’y a pas égalité alors on a  
**soit  a + b + g + h  <  e + i + j + k et donc x est soit a soit b soit e
(car a+b+c+d<e+f+g+h et donc x n’est ni i, ni j, ni k et que le changement de plateau pour g et h n’a pas produit de changement d’équilibre) avec a + b < e + n. Pour trouver x il faut faire une autre pesée comme ci-dessous à la ligne 3ème pesée.
**si a + b + g + h > e + i + j + k alors x est soit g soit h et une simple comparaison (par une troisième pesée) de g à n permet de conclure (Si g = n alors x = h sinon x = g).

3ème pesée :
Prenons par exemple c + d < f + n.
Comparons par pesée c et d. Alors trois cas :
Si c = d alors x = f
Si c < d alors f = n donc 2c < c + d < f + n = 2n donc c < n et donc x = c
Si c > d alors f = n donc 2d < d + c < f + n = 2n donc d < n et donc x = d.

2ème pesée bis :
On compare i + j et k + n.
Si i + j = k + n alors x = l
Si i + j < k + n alors voir 3ème pesée
Si i + j > k + n alors comparons i et j (c’est la 3ème pesée)
        Alors si i = j on a x = k
                Si i < j alors k = n et donc 2n < i + j < 2j donc x = j
                Si i > j alors k = n et 2n < i + j < 2i donc x = i.

Essayez donc de résoudre le même problème avec une balance électronique !!!