Monnaie de singe : une solution |
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Notons T(x) le nombre de noix de coco laissées par un marin après sa manipulation sur un tas qui en contenait x. Il est clair que T(x) = 4/5 (x - 1). Le problème consiste à trouver le plus petit x tel que T 6(x) soit entier. Or T 6(x) = (4/5)6 x - ((4/5)6 + (4/5)5 + ...+ (4/5)) de sorte que : T 6(x) - T 6(y) = (4/5)6 (x - y), d’où la remarque : si x est solution, alors y est solution si et seulement si x º y [56]. À ce stade, on peut se lancer dans de longs calculs ou espérer une solution particulière. L’idée consiste à regarder si T a un point fixe entier (qui fera donc l’affaire)... T(-4) = -4, donc -4 répond au problème posé (le problème mathématique, pas celui des noix de coco !) et fournit la plus petite solution : -4 + 56 = 15 621. |