Le lancer de dés

version du 28/10/06

Le logiciel "Lancer de dés" est à télécharger en bas de cette page. Il a été créé en vue d'illustrer une partie du programme de terminale S.

N'hésitez pas à faire des commentaires et demander des améliorations.

Partie 1 : Caractère aléatoire du lancer de dés

On montre tout d'abord que le résultat du lancer d'un dé est aléatoire. Le résultat (caractère) peut pendre une valeur entière quelconque entre 1 et 6 ; tous ces résultats sont équiprobables. Les élèves ont observé en mathématiques depuis la seconde l'existence de fluctuations d'échantillonnage et ont découvert en 1°S la notion de loi équirépartie ou d'équiprobabilité des issues (ici les issues sont : 1 ,2, 3, 4, 5 ,6).
On s'intéresse ensuite au nombre de dés qui affichent "6" lors de lancers simultanés de 100 dés. Comme il y a équiprobabilité, la moyenne est 100/6. Sur la représentation en batons on peut afficher la courbe de Gauss.

Partie 2 : Décroissance du nombre de dés

On lance simultanément un grand nombre de dés, ceux qui affichent "6" sont éliminés et on peut relancer les autres. Il y a une analogie avec une population de noyaux radioactifs : ceux qui se désintègrent ne font plus partie de la population.

Avec 200 dés
Avec 1000 dés puis avec 1 million de dés...

On peut alors calculer la valeur de DN/N lors de chaque lancer et montrer qu'il s'agit dune constante négative : DN/N=-l . Avec l = 1/6 car le "6" à une chance sur six de sortir.

En considérant que l'on réalise un lancer par seconde (Dt = 1 seconde) on a alors : DN/Dt = -l N. Cela s'écrit aussi : DN/N = -l Dt.

Cela permet ensuite à l'enseignant de mathématiques d'introduire la fonction exponentielle conformément au programme de mathématiques de TS qui évoque l'introduction de cette fonction à partir de f' = k f, motivée par la radioactivité en physique et utilisant la construction de la courbe avec la méthode d'Euler.

La courbe qui traduit la variation du nombre d'individus de la population (dés ou noyaux radioactifs) a pour équation : N = N₀ exp(-lt).

Partie 3 : Comparaison de divers dés

On peut enfin comparer divers types de dés avec la même règle : un dé qui affiche "6" sort du jeu. Chaque dé à 6 faces a une chance sur 6 de sortir du jeu (points rouges), chaque dés à 10 face a une chance sur 10 (points blancs). Il faut un ordinateur assez rapide car le programme fait deux millions de tirages aléatoires successifs lors du premier lancer pour simuler le résultats. Il ne s'agit pas d'une construction de courbe à partir de la fonction exponentielle qui serait beaucoup plus rapide mais serait sans intérêt ici.

Vous pouvez consulter un exemple d'exploitation en classe au format pdf. Ou un autre exemple ici.

Ce format necessite le logiciel Acrobat Reader disponible gratuitement.

TELECHARGER le zip complet (env 1,6 Mo) puis décompresser les trois fichiers dans un dossier temporaire et lancer le fichier setup.exe
L'installation peut demander à redémarrer l'ordinateur pour mettre à jour certains fichiers. Il faut alors accepter puis relancer cette installation.

Après l'installation, un raccourci "Lancer_de_des" est placé dans le menu "Démarrer" puis "Programmes" (tout en bas).

Ceux qui ont téléchargé une version précédente peuvent télécharger simplement la mise à jour : zip du fichier exécutable (95 Ko).

Pour l'utilisation sous Windows XP, il peut être utile de modier la taille des polices ou de cliquer avec le bouton droit sur le raccourci du programme puis choisir "Propriétés" puis "Compatibilité". Choisir ensuite l'option "exécuter en compatibilité avec Windows 95". On peut aussi utiliser un affichage en 1024*768 pour éviter une altération de l'affichage..

Si vous n'avez pas de logiciel capable de décompresser les fichiers zip, vous pouvez télécharger ZipCentral® pour les décompresser..

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